برای اساتید دانشگاه و معلمان؛
حل مساله از دیدگاه ریاضیات
در این مطلب به گفتار پنجم از سلسله مطالب تعلیم و تربیت و روش تحقیق با عنوان «حل مساله از دیدگاه ریاضیات»، به قلم دکتر احمد هدایت پناه پرداخته شده است.[
به گزارش شبکه اطلاع رسانی راه دانا؛ به نقل از روشن خبر، در ادامه سلسله مطالب تعلیم و تربیت و روش تحقیق، برای اساتید دانشگاه و معلمان، به قلم دکتر احمد هدایت پناه، استاد دانشگاه و پژوهشگر برتر استان و کشور، که هر هفته به یک موضوع پرداخته می شود؛ در این مطلب به گفتار پنجم از این سلسله مطالب با عنوان«حل مساله از دیدگاه ریاضیات»، پرداخته شده است. این مطلب ادامه گفتار چهارم می باشد.
, شبکه اطلاع رسانی راه دانا, روشن خبر, روشن خبر, روشن خبر, گفتار چهارم , گفتار چهارم ,۱۰- مساله از دیدگاه ریاضیات
,
مساله ریاضی به معنی وسیع کلمه شامل فضایا، تمرنیات و سوالات است. مسائلی ازنوع قضایا و تمرینات و سوالات، آنهایی هستند که جوابی داشته و این جواب رامیتوان در متن درسهای کلاس یافت ولی مسایلی هم هست که جوابهای آنها درمتون درسی نموده و یک راه حل کلی برای آنها وجود نداد که برای حلشان نیاز بهدانستنیهای بیشتر، مهارتها و تجربیات زیادتری است و این مسائل کم نیستند.مسایل دیگری هم وجود دارد که برایشان جوابی وجود ندارد.
,
یکی از مشکلات آموزش ریاضی این است که نمیتوان دقیقاً به دانشآموزان آموختکه چگونه مساله را حل کنند، روش عمومی و کلی برای همه انواع مسائل ریاضیوجود ندارد. در واقع برای اثبات یا رد هر گزارهای در ریاضیات روش ویژهای وجودندارد. البته میتوان دستوراتی را به کاربرد تا در این زمینه توفیق نسبی بدست آورد.
,
توصیه جورج پولیا در این است که به دانشآموزان امکان بدهیم در صورت تنظیممسأله که باید حل کنند شرکت داشته باشند.اگر شاگرد ردپای کار خودش را در طرح مسألهها ببیند خیلی فعالتر در باره آن خواهدکوشید. بنابراین اگر شرایطی فراهم کنیم که دانشآموز بتواند مسألههای خاصخودش را طرح کند نه تنها او را به کاری جدیتر تحریک، بلکه نیروی خلاقیت ذهنیاو را تقویت کردهایم.
,
۱۱- تأثیر تکرار و تمرین در یادگیری
,
پرواضح است که تمرین بهعنوان یکی از انگیزههای یادگیری است.اما به لحاظ نقش واهمیت تمرین و تکرار در یادگیری یادسپاری ، اینمقوله بررسی میشود.
پاتریشیاولف مینویسد زمانی مارک توابن گفته است که «اگر تدریس مثل تکلم بود ماآنقدر باهوش میشویم که نمیتوانستیم آن را تحمل کنیم» متأسفانه او درستمیگفت چون تدریس مانند تکلم نیست. تدریس، هدایت و تسهیل در تشکیلارتباطات عصبی در مغز شاگردان است، اگر کسی به شطرنج بازی بگوید که چه کاربکند، آن شطرنجباز حرفهای نخواهد شد. او باید خودش این کار را بکند و هزاران باربازی کند تا با الگوها آشنا شود و اطلاعات را طوری در ذهنش سازماندهی کند تابتواند آنها را به صورت تکهای ببیند. شاگردان ما نیز همینطور هستند. ما تجربه وراهنمایی در اختیارشان قرار میدهیم. اما آنها خود باید کار کنند بنابراین، این کارشخصی آنها باید به چه شکل باشد؟ همانطور که میتوان حافظه فعال را با تکهایکردن اطلاعات تقویت کرد، میتوان طول مدت ذخیره اطلاعات را با کار کردن بیشترکرده این فرایند تمرین یا تکرار نامیده میشود راههای زیادی برای تمرین اطلاعات بایک مهارت وجود دارد. یکی از آنها که تکرار نامیده میشود از بارها و بارها تکراراطلاعات با یک فعالیت تشکیل شده است. تکرار برای یاد گرفتن یک روند (یک مهارت یا عادت) بسیار مؤثرتر است تا حفظکردن شماره تلفن زیرا تکرار برای تشکیل ارتباطات عصبی قوی جهت فراگیری یکمهارت یا عادت به صورت خودکار ضروری است. رانندگی بدون توجه خودآگاه یارمزگشایی یک متن بهطور خودکار به نحوی که قادر باشد تا روی معنای چیزی کهمیخوانید تمرکز کنید، نیازمند تکرار یا تمرین مداوم این مهارتهاست شمانمیتوانید شنا کردن یا پیانو زدن را با خواندن کتاب در مورد آنها قرار بگیرند. بنیامینبلوم (۱۹۸۶) فرایند خودکار بودن را اینطور توصیف کرده «توانایی انجام یک مهارتبه صورت ناخودآگاه با سرعت و درستی همزمان با انجام خودآگاه فعالیتهای دیگرمغزی».
,
,
نوعی از تمرین، تمرین تشریحی است که یک شاخه وسیع است و روشهای زیادی رادر برمیگیرد. این روشها دانشآموزان را تشویق میکند تا اطلاعات را به نحویتشریح کند که مهم و یادسپاری آن را تقویت میکند. روشهای تشریحی معمولاً بهدلیل معنادارتر کردن یا مربوط کردن اطلاعات به دانشآموز، حافظه را تقویتمیکند. درک کردن رویداد تاریخی، یا الگوریتم ریاضی یا فرمول در شیمی از این نوعتمرین هستند.
الف) تعداد مسالههایی که در یک نوبت به دانشآموزان میدهیم از ۵ تا بیشتر نباشد.
ب) سعی کنیم حل مساله در طول سال استمرار داشته باشد، در کتابها تماممسالههایی را که برای دانشآموز منظور شده در یک نوبت بهعنوان تکلیف بهدانشآموزان ندهیم.
ج) اگر در کتاب مسائلی است که برای دانشآموزان آن کلاس مشکل است یکراهنمایی مختصری به آنها اضافه کنیم.
د) در صورتی که وقت کلاس اجازه دهد و فضای یادگیری مناسب باشد چند مساله رادر کلاس به صورت گروهی مثل کار در کلاس انجام دهیم.
مثال : تمرین و مساله ریاضی
تمرین ۱) ?= ۳ + ۲
تمرین ۲) ? =(۲×۱۰ ) +(۳ × ۶ )
مساله برای تمرین ۱ ـ علی دو کتاب قصه در کتابخانهاش در داشت، سه کتاب قصهدیگر هم در هفته کتاب خرید او اکنون چند کتاب قصه در کتابخانهاش دارد؟
مساله برای تمرین ۲ ـ در کلاس سوم الف مدرسه حافظ ۶ نیمکت ۳ نفره و در کلاسسوم ب ۱۰ نیمکت ۲ نفره موجود است. روی هم در کلاس سوم چند نیمکت موجوداست.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
۱۲- مسالهها و تمرینها
برخلاف تمرینها که عمدتاً تکرار و بازسازی شده درس میباشند معمولاً حل آنهاساده است. اما مسالهها در دنیای خارج از کلاس منعکس است، به عبارتی مسالههابیشتر به دنیای واقعی مربوط هستند و در حل آنها دانشآموزان باید مدلسازیریاضی انجام دهند. حل مسالههای ریاضی جان کلام ریاضی است اگر ریاضیاتی راکه آموزش میدهیم، در دانشآموز توانایی بهوجود نیاورد، نمیتواند آنچه را کهآموخته است در حل مسائل پیرامونش به کار گیرد. کاری نکردهایم و در راه نیل بههدفهای آموزشی نیز ناموفق عمل کردهایم، تنها محفوظاتی را در ذهن دانشآموزانباشتهایم که آن هم سودی ندارد، از آنجایی که هدف حل تمرین تثبیت یادگیریاست ولی مساله کاربرد آن در دنیای واقعی است لذا برای تقویت دانشآموزان در حلمساله توصیههای زیر مفید است.
,
۱۳- چگونگی توسعه تواناییهای حل مسالهها ریاضی در دانشآموزان
گالیله میگفت «ریاضیات زبان طبیعت است» یعنی برای شناختن قانونهایی که برطبیعت حکومت میکنند باید به ریاضیات و روشهای آن آشنا بود، ولی در واقع کار بهسادگی نیست.
اگر کسی ریاضیات را بیاموزد با دستورهای و قانونها و روشهای عمل آن آشنا نباشدنمیتواند اطمینان داشته باشد که از عهده حل مسالهای از زندگی و طبیعت برمیآید.
هر مساله تازهای روش تازهای نیاز دارد و این روش را در صورت مساله نمیتوان بهروشنی دید، کسی که میخواهد مساله تازهای را حل کند باید به جز تسلط بر دستورهاو قاعدهها، این توانایی را داشته باشد که ضمن جستجوی راه حلهای مساله، کلیداصلی را بیابد و این، ممکن نیست مگر با تمرین مداوم.
وقتی درباره حل یک مساله میاندیشید معلوم نیست بتوانید در حل آن سرانجام موفقشوید.
خود اندیشیدن، راههای گوناگون را آزمایش کردن، به تدریج ذهن را برای مبارزه با هردشواری تازهای آماده میکند. اگر میبینید در مسابقههای ریاضی (مثلا درالمپیادهای داخلی یا جهانی)، مسالههایی را مطرح میکنند که با مسالههای عادیمتفاوت است، به این دلیل است که نیرو و توان ذهنی شرکت کنندگان را بیازمایند چراکه خلاقیت ریاضی، در درجه اول، با تمرینهای طولانی به دست میآید.
صورت مساله را با دقت و چند بار بخوانید، بعد بدون اینکه دست به قلم ببرید، اندکیبیندیشید، از کجا و چگونه باید آغاز کرد به چه رابطهای بین دادهها یا خواستههایمساله وجود دارد؟ آیا میتوان بدون حل مساله پاسخ را حدس زد؟ آیا راههایی برایآزمایش روی عددها، یا شکلهای ساده وجود دارد؟ اگر مساله حالتهای خاصسادهای دارد اول آنها را برای خود مطرح کنید. همیشه برای حل یک مساله دشوار،باید در جستجوی مسالههای سادهتری بود که البته به مساله اصلی مربوط باشند) کهبه تلاش برای حل این مسالههای سادهتر، راهی مستقیم یا غیر مستقیم برای مسالهاصلی پیدا کرد.
اگر مساله را حل کردید، با راه حل کتاب مقایسه کنید، کدام سادهتر و کدام زیباتراست؟ راه حل شما یا راه حل کتاب؟ اگر بعد از تلاشهای بسیار، موفق به حل آننشدید، آن وقت به حل کتاب مراجعه کنید. شما با تلاش خود ولو اینکه نتوانستهباشید مساله را حل کنید، سود خود را بردهاید، تلاش شما ذهن شما را نیرومندتر کردهاست. در ضمن با دیدن راه حل کتاب، متوجه میشوید چه روشهایی را مورد آزمایشقرار ندادهاید یا در کجاها دچار گمراهی شدهاید.
روی هر مساله به اندازه کافی بیندیشید و عمل کنید. این مهمتر از آن است که موفق بهحل آن نشوید و یا در نیمه راه بمانید. اگر روی یک مساله به اندازه کافی اندیشیدهباشید، حتی در حالتی که نتوانستهاید آن را به نتیجه برسانید، برای شما سودمندتر ازحالتی است که به راه حل چندین مساله، به کمک دیگران و یا کتابهای حل مساله،پیبرده باشید.
اگر شما به اندازه کافی در پیدا کردن حالتهای مختلف، در ترکیب عنصرها درجمعبندی آگاهیهای جداگانه، تمرین داشته باشید، به تدریج چنان شبکه محکم وگستردهای به وجود میآید به طوری که به حل مسالههای بعدی میپردازید. اندیشهشما به سرعت با آزادی از روی آن عبور میکند و آنچه را که لازم دارد حتی از تجربهناآگاهانه شما، در خود جمع میکند.
بارها پیش میآید وقتی به مساله تازهای در زمینهای دشوار میپردازید دچار یاس ودلتنگی میشوید، چرا که تقریباً همه حالتها و ترکیبهایی که برای حل آن در نظرمیگیرید، بیفایده از آب در میآید، با وجودی که از جانبهای بسیار زیادی به آنحمله کردهاید، همه جا مواجه با بن بست شدهاید، ولی اگر حوصله به خرج دهید وکار خود را با شکیبایی دنبال کنید به تدریج وضع عوض میشود، در طول زمان کارشما روشن، گویاتر و امید بخشتر میشود، کمکم تجربه ناآگاهانه هم به یاری شمامیآید، این درست مثل آموزش دوچرخه سواری است پیش از آنکه حرکت شما بهصورت ناآگاهانه در آید، نمیتوانید منتظر این باشید که نسبت به کار خود اعتمادداشته باشید، زمانی میرسد که وقتی حل مسالهای را آغاز میکنید. میتوانید درهمان مرحله اول، به درستی و با اطمینان عنصرها و شرطهای لازم را انتخاب کنید.آنها را به درستی ترکیب نمایید و به راحتی خود را به مسیرهای حل مساله برسانید،درست مثل اینکه کسی شما را که در نوع انتخاب یک حالت، از میان انواع ممکنحالتها، کمک میکند و همان حالت درست مورد نظرتان را به شما نشان میدهد، بهاین ترتیب به اصل متکی بر فعالیت آگاهانه و متکی بر دانش یعنی اصل حرف زدن واصل از جزء به کل میتواند به شما کمک کند تا در حل مسالهها، به حالت عادیخودکار و ناآگاهانه برسید.
به حل مسالهای با راهحلهای اتخاذ شده توجه کنید.
مثال ۷) ذوزنقه متساویالساقین رسم کنید و ثابت کنید که قطرها مساویند
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
حلهای مختلف
الف (۱) دانشآموزی قطرها را با خط کش اندازه میگیرد و میگوید
نتیجه اندازه گیری یکی است لذا قطرها مساوی هستند
الف) (۲) دانشآموز دیگری به طور ذهنی ذوزنقه را میبرد و آن را پشت و رو کرده ودر جای خود قرار میدهد و بدین ترتیب استدلال میکند که قطرها مساویند
الف (۳) ممکن است دانشآموزی بحث کند یک ذوزنقه متساوی الساقین طبقتعریف یک چهار ضلعی است با محور تقارنی که از راس نمیگذرد و در نتیجه تقارنیمانند S وجود داد به طوری که S(ABCD) = BADS
شکل زیر
,
,
,
,
,
بنابراین S(AC) = BD و در یک تقارن یک خط با تصویرش مساوی است بدینترتیب ثابت میشود قطرها با هم مساویند.
, ,
۱۴-حل مساله از دیدگاه جرج پولیا
جرج پولیا (۱۹۶۲) چهار حالت زیر را برای حل مساله مطرح میکند.
الف) فهمیدن مساله ب) طرح نقشه
ج) اجرای نقشه د) امتحان کردن جوابی که به دست آمده است
ذیلا گزیده عناوین حالتهای فوق از کتاب «چگونه مساله را حل کنیم» جرج پولیا بیانمیکنیم.
الف) فهمیدن مسأله
مجهول چیست؟ دادهها کدام است، شرط چیست؟آیا تحقق یافتن شرط مساله امکانپذیر است؟ آیا شرط مساله برای تعیین مجهولکفایت میکند؟ یا اینکه کافی نیست یا حشوو زاید است؟ یا متناقض است؟
شکلی رسم کنید ، علامتهای مناسب را به کار ببرید. قسمتهای مختلف شکل را از هم جداکنید، آیا می توانید آنهارا برروی کاغذ بیاورید؟
مثلثی با در دست داشتن ضلع a وh ارتفاع وارد برآن و زاویه α(آلفا) مقابل آن را رسم کنید
مجهول چیست؟ یک مثلث
,
,
,
,
,
,
,
,
,
α(آلفا) داده چیست؟ دو خط a وh ویک زاویه α(آلفا)
اینک میکوشیم که ساختن این مثلث را به یافتنیک نقطه منجر سازیم. خط BC رابرابرa رسم میکنیم .
پس همه آنچه باید به دستآوریم نقطه راس A است که روبروی α(آلفا) قرار گرفته است شکل زیر
در واقع با مساله دیگری روبرو شدهاید.
مجهول چیست؟ نقطه A
دادهها چیست؟ خطh و زاویهα(آلفا) و محل دو نقطه C وB
شرط چیست؟ باید فاصله عمودی نقطه A از خط BC برابرباh و زاویه BACبرابر α(آلفا)باشد
با تغییر دادن مجهول و دادهها ، در حقیقت مساله را خود تغییر شکل دادهایم.
مجهول تازه یک نقطه است. در صورتیکه مجهول اصلی یک مثلث بوده و بعضی از دادهها در
هر دو مثلث یکی است . خط hα(آلفا) ولی در مساله پیشین به ما یک طولa ویک زاویه α(آلفا)
داده بودند و در مسالهتازه به جای آن دو محل قرار گرفتن نقاط BوC را داده اند.
مساله تازه دشوار نیست. توجه به پیشنهاد زیر ما را به حل آن نزدیک میکند. اجزاءمختلف شرط را از یکدیگر جدا کنید. شرط دو قسمت دارد. یکی مربوط به دادهh ودیگری مربوط به داده α(آلفا)
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
نقطه مجهول باید:
(۱) تا خطBC فاصلهای برابر با hداشته باشد
(۲)راس زاویهای به بزرگی α(آلفا)باشد که اضلاع آن از BوC بگذرد.
اگر تنها یک جزو ازاین شرط را در نظر بگیریم و دیگری را کنار بگذاریم، نقطه مجهول به صوت کاملتعیین نمیشود. نقطههای فراوانی میتواند شرط (۱) را تحقق بخشد.
یعنی همه نقاط واقع بر روی خطی که در فاصله hازBC به موازات آن رسم شده باشند این خط موازی مکان هندسی نقاطی است که جزء (۱) از شرط را تامین میکنند.
مکان هندسی نقاطی که جزء (۲) را تحقق میبخشد، قوسی از یک دایره است که BوC در کنار آنند.
چون دو مکان هندسی را ترسیم کنیم، محل تقاطع آنها راس مثلثیاست که مطلوب ساختن آن بوده است.
ب) طرح نقشه
آیا آن را پیشتر دیده بودید؟ آیا همین مساله را به صورت دیگر دیدهاید؟ آیا ازمسالههای وابسته آگاهی دارید؟ آیا از قضیهای که بتواند سودمند واقع شود آگاهید؟
به مجهول نگاه کنید، و بکوشید تا درباره مسالهای بیندیشید که همین مجهول یا شبیهآن را داشته باشد.
در این جا مسالهای وابسته به مساله شما وجود دارد که پیشتر حل شده است آیامیتوانید آن را به کار برید؟ آیا میتوانید روش آن را به کار برید؟ آیا باید یک عنصرکمکی وارد کنید تا به کار بردن آن را ممکن سازد؟ آیا میتوانید صورت مساله رادوباره بیان کنید؟ آیا میتوانید آن را به صورتی دیگر بیان کنید؟ به تعریفها رجوعکنید.
اگر نمیتوانید مساله طرح شده را حل کنید نخست حل کردن مسالهای وابسته به آنبپردازید، آیا میتوانید مساله وابستهای را که بیشتر در دسترس باشد تخیل کنید؟ یایک مساله کلیّتر؟ یا یک مساله خاصتر؟ یا یک مساله مشابه؟ آیا میتوانید یکقسمت از مساله را حل کنید؟ تنها یک جزء از شرط را نگاه دارید. باقی آن را کناربگذارید. در این صورت مجهول تا چه اندازه معلوم میشود و چگونه تغییر میکند؟آیا میتوانید از دادهها چیز سودمندی استخراج کنید؟ آیا دادههای دیگری به فکرشما خطور میکند که بتواند برای به دست آوردن مجهول سودمند باشد؟ آیامیتوانید مجهول یا دادهها یا در صورت لزوم هر دو را چنان تغییر دهید که مجهولتازه و دادههای تازه به یکدیگر نزدیکتر باشند؟
آیا همه دادهها را به کار بردهاید؟ آیا همه شرطها را به کار بردهاید؟ آیا همه مفاهیممندرج در مساله را به کار بردهاید؟
ج) اجرای نقشه
در ضمن اجرای نقشه حل مساله، هر گام را که بر میدارید وارسی و امتحان کنید. آیامیتوانید آشکار را ببینید که گام برداشته شده درست بوده است؟ آیا میتوانیددرست بودن آن را ثابت کنید؟
د) به عقب نگاه کردن
آیا میتوانید نتیجه را وارسی کنید آیا میتوانید نتیجه را از راهی دیگر به دستآورید؟ آیا میتوانید نتیجه یا روش را در مسالهای دیگر به کار برید؟
۱۵- حکمت ضربالمثلها در حل مساله
جورج پولیا در کتاب چگونه مساله را حل کنیم. چنین مینویسد.
حل کردن مسائل یکی از فعالیتهای بنیادی انسان است، در واقع بزرگترین قسمت تفکرخودآگاهانه ما به مسائل مربوط میشود. هنگامی که تسلیم افکار آمیخته به خیالنشده باشیم. اندیشههای ما متوجه به هدفی است. درصدد یافتن وسیلهای برای حلکردن یک مساله هستیم، جمعآوردن و گروهبندی کردن ضربالمثلهایی که مربوط بهطرح نقشه و جستجوی وسائل و انتخاب عمل و به صورت خلاصه ضربالمثلهاییکه وابسته به حل مسائل است. کاری جالب توجه است که نقل کردن محدودی ازضرب المثلها میتواند در روش حل مسایل و مشکلات و بینش عقل سلیم که باید درآن به کار رود مورد توجه قرار گیرد ولی روش علمی قابل استنادی نیست.
, ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
۱۶- استفاده از تمثیل در حل مساله
هولی اوک (۱۹۸۵) درباره نحوه کمک تمثیل به ایجاد طرحوارههای جدید برایمساله، توصیفی عرضه کرده است.
از« تمثیل موقعی استفاده میشود که حل مستقیم مساله با شکست مواجه میشود».
مثال : برای یادگیری چگونگی کار قلب میتوان از تمثیل موتور آب به جای قلبشروع کرد. فرد ممکن است از دانش چگونگی کار کرد موتور آب شروع کند.
,
,
,
( این مبحث ادامه دارد)…..
,لینک مطالب مربوط به گفتار اول – گفتار دوم – گفتار سوم – گفتار چهارم
, گفتار اول, گفتار اول, گفتار دوم , گفتار دوم , گفتار سوم, گفتار سوم, گفتار چهارم, گفتار چهارم,منابع:
,
[۱] آیسینگ ـ مایکل( ۱۳۷۹) فرهنگ توصیفی روانشناسی شناختی ترجمه علینقی خرازیو دیگران، نشر نی
[۲] اتوس بسلر و دیگران(۱۹۷۱) آموزش تدریس ریاضیات دبیرستانی ترجمه جواد همدانیزاده ، مرکز نشر دانشگاهی
[۳] بابلیان،اسماعیل(۱۳۸۲) آنالیز عددی (۱) انتشارات دانشگاه پیام نور ،چاپ هفتم
[۴] بابلیان،اسماعیل ودیبایی ، محمد تقی(۱۳۶۳) راهنمای معلم کتاب ریاضی پنجم دبستان وزارت آموزش وپرورش
[۵] بخشعلی زاده،شهرناز- بروجردیان ، ناصر – دهقانی ، زین العا بدین- دیده ور ، فر زاد – طا هری، محمد تقی – عالمیان، وحید و مسگرانی حمید (۱۳۸۸) ریاضی اول دبیرستان کد ۱/۲۱۱ وزارت آموزش وپرورش
[۶] بهروش، جعفری و دانشفر(۱۳۷۰) روش تدریس ریاضیات ابتدایی وزارت آموزش وپرورش
[۷] بیژن زاده محمدحسن( ۱۳۷۴) فلسفه ریاضی ،انتشارات دانشگاه پیام نور
[۸] برویس جویس مارشاویل( ۱۳۷۶ )الگوهای جدید تدریس، ترجمه محمدرضا بهرنگیانتشارات تابان
[۹] پاترشیا ولف(۱۳۸۲) مغز و فرایند یادگیری ، مترجم داود ابوالقاسمی انتشارات مدرسه
[۱۰] پریان جیکرتی (۱۳۷۸) یادگیری فعال ترجمه فروغ تنساز دفتر انتشارات کمکآموزشی وزارت آموزش و پرورش
[۱۱] پولیا جورج(۱۳۷۷) چگونه مسأله را حل کنیم؟ ترجمه احمد آرام انتشارات کیهان
[۱۲] پولیا جورج( ۱۹۶۴) خلاقیتهای ریاضی، ترجمه پرویز شهریاری انتشارات فاطمی
[۱۳] توکلی صابری،علیرضا (۱۳۷۵)تفریح با ریاضی انتشارات مدرسه
[۱۴] جرمی کیل پاتریک وجین سوافرد،(۱۳۸۷)کمک کنیم کودکان ریاضی یاد بگیرند ،مترجمان ،مهدی بهزاد وزهرا گویا چاپ اول انتشارات فاطمی
[۱۵] جهانشاهی، محمد (۱۳۸۰) اصول فراگیری وآموزش ریاضیات دبیرستانی وچیش دانشگاهی انتشارات مدرسه چاپ چهارم
[۱۶] جین کراشتن مارک ،(۱۳۸۷ )ارزیابی ریاضی، متر جمان زهرا گویا ومانی رضایی چاپ اول انتشارات فاطمی
[۱۷] خوانساری محمد( ۱۳۶۳ )منطق صوری جلد اول و دومانتشارات آگاه
[۱۸] داگلا،آ.گروز وکریستین ،جی، سیولا،(۱۳۸۰ )بهبود بخشی دستاورد شاگردان در ریاضات
[۱۹] سکارکرکیت( ۱۳۷۹ )مهارتهای تدریس آموزش ریاضیات، ترجمه منوچهر مجاور واحمد صادقی انتشارات آستان قدس رضوی
[۲۰] شریعتمداری،علی(۱۳۶۹) روانشناسی تربیتی ، انتشارات امیر کبیر
[۲۱] شعبانی، حسن(۱۳۷۱) مهارتهای آموزش وپرورش (روشها وفنون تدریس) انتشارات سمت
[۲۲] شکوهی، غلامحسین(۱۳۶۳) روش آموختن حساب وهندسه ،ناشر مولف چاپ سوم
[۲۳] شمس آوری، جهانگیروشهریاری پرویز (۱۳۴۷) راهنمای تدریس حساب وهندسه سوم دبستان وزارت آموزش وپرورش
[۲۴] شمس آوری، جهانگیرو رضا ، محمود (۱۳۴۸) راهنما ی تدریس حساب اول دبستان
[۲۵] شمس آوری، جهانگیرو شهریاری ،پرویز (۱۳۴۸) راهنما ی تدریس حساب چهارم دبستان
[۲۶] شهریاری ، پرویز(۱۳۶۷) روشهای جبر، انتشارت امیر کبیر جلد (۱) و(۲)
[۲۷] شید فر ،عبدالله-فرزان ،مسعود وفرهودی مقدم ، پرویز(۱۳۶۳) راهنمای معلم برای کتاب ریاضی چهارم دبستان،وزارت آموزش وپرورش
[۲۸] صفاری ،حسن وقربانی ، ابوالقاسم حل المسائل هندسه برلی دانش آموزان دوره دبیرستان فاقد تاریخ چاپ (قبل از سال ۱۳۵۳)
[۲۹] صفوی ،امان الله(۱۳۸۴) کلیات روشها وفنون تدریس ، انتشارات معاصر
[۳۰] صفوی ،امان الله(۱۳۶۹) کلیات روشها وفنون تدریس مرکز تربیت معلم ، انتشارات وزارت آموزش وپرورش کد ۳/۱۰۰۲
[۳۱] عزتخواه ، کریم(۱۳۷۹) آشنایی با مفاهیم وروش تدریس ریاضی ، انتشارات دانشگاه پیام نور
[۳۲] علم الهدایی ،سید حسن(۱۳۸۸) اصول آموزش ریاضی ، انتشارات جهان فردا ،مشهد
[۳۳] علم الهدایی ،سید حسن(۱۳۸۱) راهبرد های نوین درآموزش ریاضی ، نشر شیوه
[۳۴] فرخ پیام ،حسن – عطر فروش ،حسام – اشرقی زاده احمد ولطفی ف اصغر (۱۳۶۹) ریاضیات کار بردی در فیزیک سال اول مراکز تربیت معلم رشته علوم تجربی•
[۳۵] کرامتی،محمدرضا(۱۳۸۴) یاد گیری مشارکتی ،انتشارات فرا انگیزش انتشارات انصار
[۳۶] گرایتزر ، سمو ئل (۱۳۶۸) المپیاد های ریاضی ، متر جم ، وحیدی اصل محمد قاسم ، مر کز نشر دانشگاهی
[۳۷] گلاور ودیگران(۱۳۷۷) روانشناسی شناختی برای معلمان ، ترجمه علینقی خرازی
[۳۸] للهی، کاظم- کریمپور ،رحیم ورستمی ،محمد هاشم (۱۳۶۱) راهنمای معلم کتاب ریاضی اول دبستان وزارت آموزش وپرورش
[۳۹] گویا،زهرا ودیگران(۱۳۷۴) ریاضی پایه دوره پیش دانشگاهی علوم انسانی،سازمان پژوهش وبرنامه ریزی درسی
[۴۰] ماروین -جی ،گرینبرگ (۱۳۶۳) هندسه های اقلیدسی ونا اقلیدسی ، ترجمه محمد هادی شفیعیها، مرکز نشر دانشگاهی
[۴۱] .مجتهدی ، محمد علی – بحرانی، حسین -زاوشی محمد تقی ومنتظری ،هوشنگ (۱۳۳۴) حساب اول دبیرستان چاپ چهارم
[۴۲] مصاحب، غلامحسین (۱۳۳۴ ) مدخل منطق صورت انتشارات حکمت
[۴۳] مصاحب،غلامحسین (۱۳۶۳ ) آنالیز ریاضی جلد اول انتشارات امیر کبیر
[۴۴] معیری ، محمد طاهر(۱۳۵۲) ریاضیات سال دوم دانشسرای مقدماتی وزارت آموزش وپرورش
[۴۵] معین ،محمد(۱۳۶۳) فرهنگ فارسی (متوسط) انتشارات امیر کبیر
[۴۶] نصیرنیا،حسن(۱۳۶۸) سر گر می های علمی وآموزشی ، سازمان پژوهش وبر نامه ریزی درسی
[۴۷] نیک نهاد،عظیم وهدایت پناه ،احمد (۱۳) چرا ریاضی می خوانیم؟ انتشارات آبرنگ
[۴۸] هدایت پناه ،احمد(۱۳۸۴) حساب دیفرانسیل وانتگرال (۱) انتشارات در یای دانش
[۴۹] آیین فرزانگی، ویژه سال جهانی ریاصیات -اداره کل آموزش وپرورش استان اصفهان
[۵۰] کتابهای متنوع روش تدریس ریاضی دورههای ابتدایی و راهنمایی
[۵۱] کتب ریاضی پایه های مختلف تحصیلی نظام های جدید وقدیم
[۵۲] گزیده مقالات هفتمین کنفرانس آموزش ریاضی ایران سازمان آموزش و پرورش کردستان
[۵۳] مجلات رشد شمارههای ۳ ـ ۱۵ ـ ۵۳ ـ ۵۴ ـ ۶۳ ـ ۶۶-۷۰
[۵۴] مجله تکنولوژی آموزشی شماره ۳۲
[۵۵] مجموعه مقالات نوزدهمین کنفرانس ریاضی ایران
[۵۶] مجموعه سخنرانیهای ارائه شده برای دبیران ریاضی در بیست و دومین کنفرانس ریاضی کشور در سال ۱۳۶۹ دانشگاه فردوسی مشهد
[۵۷] مجموعه¬گزارش نخستین کنفرانس آموزش ریاضی ایران اداره کل آموزش و پرورش اصفهان
[۵۸] مجموعه مقالات دومین کنفرانس آموزش ریاضی ایران وزارت آموزش و پرورش نشر عابد
[۵۹] مجموعه مقالات چهارمین کنفرانس آموزش ریاضی ایران اداره کل آموزش و پرورش تهران.
[۶۰] مجموعه مقالات پنجمین کنفرانس¬آموزش ریاضی ایران وزارت آموزش و پرورش نشر عابد
[۶۱] مجموعه مقالات¬هشتمین¬کنفرانس ریاضی ایران¬سازمان آموزش و پرورش چهارمحال¬و¬بختیاری
[۶۲] مجموعه مقالات نهمین کنفرانس آموزش ریاضی ایران سازمان آموزش و پرورش سیستان و بلوچستان
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
یادداشت/دکتر احمد هدایت پناه
,انتهای پیام/رض
]
ارسال دیدگاه